はい。
それでは虚数について学びましょう。
√-1はiをつかって表します。
2√-1=2i というようにね。
けど、2乗して-1になる数はないはずだよね。
あの数直線の中にはない。
それを実際に検証してみよう。
√-1>0 と仮定する。
√-1>0
√-1×√-1>0×√-1
-1>0
---------------------------
√-1<0 と仮定する。
√-1<0
√-1×√-1>0×√-1
-1>0
上下ともに-1>0となって矛盾したね。
ということは√-1という数はない。
と、することもできるんだけど、数直線の中にないだけで、その外にあると考えた人がいたんだ。
レオンハルト・オイラーです。彼は、平面でこの数を表したんだ。
この平面は複素数平面といい、上下方向はi、左右方向は1が単位となっています。
つまり、中央から右に3上に2進んだところにあるのは2+3iということだね。
ここで、確認問題を解いてもらいます。
確認問題
複素数平面の点A・点B・点Cに当たる数は何でしょう。
解答
A 3+3i
B -3+2i
C -2-5i
次に、複素数の加減法のやり方です。
ただし、ここからは正式に実数部分を実部、虚数部分を虚部と呼びます。
(5+9i)+(4-4i)=5+9i+4-4i
=5+4+9i-4i
=(5+4)+(9-4)i
=9+5i
この様に実数同士の加減法に落とし込むことができ、計算ができました。
2つ目の確認問題です。
確認問題
(1) (3+2i)-(8-7i)
(2) (6-6i)+5i+(9-2i)
解答・解説
次のように計算する。
(1) (3+2i)-(8-7i)=3+2i-8+7i
=-5+9i
(2) (6-6i)+5i+(9-2i)=6-6i+5i+9-2i
=15-3i
そして、複素数の乗法です。
普通に展開をすれば求めることができます。
次の問題を解いてみましょう。
(3+i)(1-6i)=3×1+3×(-6i)+i×1+i×(-6i)
=3-18i+i+6
=9-17i
iを2回かけると-1になることだけ考えれば実数の乗法と変わらないです。
3つ目の確認問題です。
確認問題
(1) (1+i)(5-i)
(2) (3-2i)(6+9i)(7+6i)
解答解説
次のように計算する。
(1) (1+i)(5-i)=1×5+1×(-i)+i×5+i×(-i)
=5-i+5i-1
=4+4i
iが3回かけられても-1×iと見て計算する。
(2) (3-2i)(6+9i)(7+6i)=3×6×7+3×6×6i+3×9i×7+3×9i×6i-2i×6×7-2i×6×6i-2i×9i×7-2i×9i×6i
=126+108i+189i-162-84i+72+126+108i
=164+321i
