「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。
数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。
※あくまで、メモである。（見やすくは作っていない）
今までの漸化式からガラリと変わり、指数関数・対数関数の単元です。
2³（2^3とも表記）みたいなやつを「べき乗」といい、「にのさんじょう」と読み、2³=2×2×2=8であるため、2を3回かけたものと理解していた。
しかし、それだと、2^(1/2)や2^0、2^(-3)を理解するのが困難になる。
そこで、「y=a^x」を「1秒間でa倍に増えるバクテリアがx秒後にはy倍になっている」というイメージで理解する。（ただしa＞0、a≒1とする。）
すると、2^(1/2)は、1秒間で2倍に増えるバクテリアが1/2秒後には何倍になっているかという問いになるので、最初の1/2秒で?倍になって、次の1/2秒でまた?倍になって、結果として、1秒で2倍に増えているので、?^2=2よって?=√2
2^0は、1秒間で2倍に増えるバクテリアが0秒後には何倍になっているかという問いになるので、当然、1倍になっている。
2^(-3)は、1秒間で2倍に増えるバクテリアが3秒前には何倍であったかという問いになるので、1秒前が1/2倍なので、3秒前には1/8倍であったとわかる。
ちなみに、「累乗」はa^xでxが自然数であることを強調するときに使われ、「べき乗」はそれ以外の時にも使われる。
このときのaを底といい、xを指数という。
いわゆる指数法則についてもこのイメージで考えてみる。
a^x×a^y=a^(x+y)
1秒間でa倍に増えるバクテリアがx秒でa^x倍になって、次のy秒でさらにa^y倍になっているので、x+y秒でa^(x+y)倍なっているといえる。
(a^x)^y=a^(xy)
1秒間でa倍に増えるバクテリアはx秒でa^x倍になる。
xを1単位時間とすると、(a^x)^yはy単位時間で何倍になるのかとあらわすことができる。
y単位時間はxy秒なので、a^(xy)倍になっているとわかる。
a^x×b^x=(ab)^x
バクテリアを観察していると、p秒でa倍に、q秒でb倍に増殖していた。
P+q秒ではab倍に増殖する。
p+q秒を1単位時間とすると、1単位時間でab倍になるため、x単位時間で(ab)^x倍なる。
x単位時間は(p+q)x秒なので、(p+q)x秒で(ab)^x倍に増える・・・①
p秒を単位時間と考えれば、px秒でa^x倍に、q秒を単位時間と考えれば、qx秒でb^x倍になる。
よって、px+qb秒で、a^x×b^y倍に増える。
つまり、(p+q)x秒で、a^x×b^y倍に増える。・・・②
①、②より、a^x×b^x=(ab)^xが成り立つ。
y=a^xのグラフを想像すれば、yが0になることはないということや、aの値によらずxが0のときにyが1になること、aが1より大きいときはxの増加によってyも増加することが、1より小さいときはxの増加によってyが減少することもわかる。
