「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。
数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。
※あくまで、メモである。（見やすくは作っていない）
前回、微分をリミットの考え方で理解した。
「青色の図形f(x)におけるx座標がaの地点での傾きを考える。傾きには2点が必要なので、図形上にx座標がxの黄色い点を置く。黄色の点を赤色の点に近づけると緑色の線も動く。黄色の点が赤色の点に限りなく近づいたときにできる緑色の線の傾きを『x=aにおけるf(x)の微分係数』という。」（←ちゃんとした定義）
しかし、実際に計算するうえで定義通りにやるとめんどくさすぎる。
そのため、楽をする方法を考える。
f(x)=xⁿ
導関数の定義は
f´(x)=
(f(x+h)-f(x))/h
代入して
f´(x)=((x+h)ⁿ-xⁿ)/h
二項定理で展開して
f´(x)=((xⁿ+nC₁xⁿ⁻¹h+nC₂xⁿ⁻²h²+……+nCnhⁿ)-xⁿ)/h
xⁿを計算して
f´(x)=(nC₁xⁿ⁻¹h+nC₂xⁿ⁻²h²+……+nCnhⁿ)/h
hで割って、
f´(x)=nC₁xⁿ⁻¹+nC₂xⁿ⁻²h+……+nCnhⁿ⁻¹
h=0として
f´(x)=nC₁xⁿ⁻¹
nC₁=nなので
f´(x)=n*xⁿ⁻¹
とても簡単に計算できるようにった。
確認問題
f(x)=x⁵の導関数を求めよ。
解答を表示
5x⁴
また、微分には線形成がある。
そのため、関数f(x)、f(g)、定数k、lにおいて
{kf(x)+lg(x)}´=kf´(X)+lg´(x)
が成り立つ。
確認問題
5x⁴+(1/3)x³の導関数を求めよ。
解答を表示
20x³+x²
3次関数の導関数は2次関数になる。
その2次関数によって、3次関数を6種類に分けることができる。（下図参照）
増減表もお忘れなく！
