「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。
数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。
※あくまで、メモである。（見やすくは作っていない）
前回の授業で、「ある事象が起きたとき（サイコロを振って1~6の目が出た）に決められたルール（奇数ならそのまま、偶数なら半分にする）に従って決まる数Xを『確率変数』と呼ぶ」ということを習った。
これを踏まえて、難しい問題を解いていく。
その前に、いくつかのテクニックを習ったので、紹介する。
確率変数に対しても独立という言葉が使われる。
∀xi∈A,∀yj∈B（∀は、すべてのという意味）で、
(X=xi)と(Y=yj)が独立
⇔P(X=xi∩Y=yj)=P(X=xi)･P(Y-yj)
をXとYが独立という
E(X)はXの期待値という意味である。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)は一般に成り立つ。（和の期待値）
例えば、X,Yを大小のサイコロそれぞれの出目とする。
E(X+Y)は大小のサイコロの出目の和なので、その期待値は7であることがわかる。
一方、E(X)+E(Y)は、大きいサイコロの出目の期待値＋小さいサイコロの出目の期待値なので、3.5+3.5=7とわかる。
よって成り立つ。
E(cX)=cE(X)が成り立つことは見てわかる。（cは定数）（期待値の線形性）
E(XY)=E(X)E(Y)はX,Yが独立のときにのみ成り立つ。（席の期待値）
V(X)をXの分散とする。
V(X+Y)=V(X)+V(Y)はX,Yが独立のときにのみ成り立つ。（和の分散）
V(XY)=V(X)V(Y)はX,Yの独立、従属（独立でないの意）に関わらず成り立つ保証はない。
V(X+a)=V(X)はグラフが左右に平行移動しても分散が変わらないことからわかる。（aは定数）
V(aX)=a²V(X)も分散の定義を考えればわかる。（aは定数）
pの確率で事象Aが起こる独立反復試行をn回繰り返し事象Aが起こる回数をXとする。
この確率分布を「二項分布」といい、「確率変数Xは二項分布B(n,p)に従う」と表す。
そのとき、E(X)=np、V(X)=npqになる。（qは1-pとする）
