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群と数体系シリーズ 群の定義編

群を知る上で必要な概念と記号

  • 任意の〜 意味:勝手に決めた〜
  • ∀ 意味:任意の
  • ∃ 意味:とある
  • a∈A 意味:aはAに属する

 

群の定義

群とは、集合Gの上の二項演算(あるものとあるもので新たなあるものを作り出す演算)の性質として次の3つが成り立つものです。

 

演算子h(a,b)と集合Gを定義する。

1.任意に決めた集合Gの元a,b,cに対してh(a,h(b,c))=h(h(a,b),c)が成り立つ。(結合法則)

(∀a,b,c∈G)[h(a,h(b,c))=h(h(a,b),c)]

2.任意に決めた集合Gの元dに対してh(d,e)=h(e,d)=dを満たす集合Gの元eが存在する(単位元)

(∀d∈G)(∃e∈G)[h(d,e)=h(e,d)=d]

3.任意に決めた集合Gの元pと上記の条件2に書かれた単位元eに対してh(p,q)=h(q,p)=eが成り立つ集合Gの元qが存在する(逆元) (∀p∈G)(∃q∈G)[h(p,q)=h(q,p)=e]

 

群かどうかの判定

問題:次の集合と二項演算において群であるかどうか調べよ。

  (1)整数の集合における加法

  (2)自然数の集合における加法

 

解答:(1)条件1 成り立つ

     条件2 成り立つ(単位元は0)

     条件3 成り立つ

     よって群

   (2)条件1 成り立つ

     条件2 成り立たない(自然数の集合にない)

     条件3 成り立たない(そもそも単位元がない)

     よって群でない

群と関連するもの

先程の問題で、(2)は群ではありませんでしたが、条件1は成り立っていました。条件1が成り立つとき、これを半群といいます。更に条件2が成り立つとき、モノイドといいます。条件を追加して

4.任意に決めた集合Gの元x,yがあり、

   h(x,y)=h(y,x)

が更に成り立つ群をアーベル群といいます。