群を知る上で必要な概念と記号
- 任意の〜 意味:勝手に決めた〜
- ∀ 意味:任意の
- ∃ 意味:とある
- a∈A 意味:aはAに属する
群の定義
群とは、集合Gの上の二項演算(あるものとあるもので新たなあるものを作り出す演算)の性質として次の３つが成り立つものです。
演算子h(a,b)と集合Gを定義する。
1.任意に決めた集合Gの元a,b,cに対してh(a,h(b,c))=h(h(a,b),c)が成り立つ。(結合法則)
(∀a,b,c∈G)[h(a,h(b,c))=h(h(a,b),c)]
2.任意に決めた集合Gの元dに対してh(d,e)=h(e,d)=dを満たす集合Gの元eが存在する(単位元)
(∀d∈G)(∃e∈G)[h(d,e)=h(e,d)=d]
3.任意に決めた集合Gの元pと上記の条件2に書かれた単位元eに対してh(p,q)=h(q,p)=eが成り立つ集合Gの元qが存在する(逆元) (∀p∈G)(∃q∈G)[h(p,q)=h(q,p)=e]
群かどうかの判定
問題:次の集合と二項演算において群であるかどうか調べよ。
(1)整数の集合における加法
(2)自然数の集合における加法
解答:(1)条件1 成り立つ
条件2 成り立つ(単位元は0)
条件3 成り立つ
よって群
(2)条件1 成り立つ
条件2 成り立たない(自然数の集合にない)
条件3 成り立たない(そもそも単位元がない)
よって群でない
群と関連するもの
先程の問題で、(2)は群ではありませんでしたが、条件１は成り立っていました。条件１が成り立つとき、これを半群といいます。更に条件２が成り立つとき、モノイドといいます。条件を追加して
4.任意に決めた集合Gの元x,yがあり、
h(x,y)=h(y,x)
が更に成り立つ群をアーベル群といいます。
