数学の中でも、好き嫌いがわかれる「証明」。
今回は、特に、幾何に焦点を当てて、書くコツをお伝えしたいと思います。
そもそも、証明とは何でしょうか。
証明とは、「ある仮定が正しいことを示すこと」です。
そのためには、「仮定」と「結論」、それらをつなぐ「根拠」が必要です。
そして、仮定と結論は問題文の中に書かれています。
なので、
①問題文から仮定と結論を見つける
②結論からさかのぼって根拠を探す
③実際に文章を書く
の3ステップで証明を書くことができます。
例題を交えながら、各項目を詳しく解説していきます。
①問題文から仮定と結論を見つける
問題文には「ＡならばＢであることを証明せよ」と書かれていることが多いです。
この時のＡを仮定、Ｂを結論と言います。
仮定も結論も日本語ではなく式を使って表したほうがわかりやすいのでそうします。
最低限覚えておいた方がいい表記方法をいくつかあげます。
「AとBをつなぐ線」は「AB」
「角ABC（角B）」は「∠ABC（∠B）」
「直線ABと直線CDが平行」は「AB//CD」
「直線ABと直線CDが垂直」は「AB⊥CD」
「三角形ABC」は「△ABC」
「三角形ABCと三角形DEFは合同」は「△ABC≡△DEF」
「三角形ABCと三角形DEFは相似」は「△ABC∽△DEF」
「点Aと点Bを結ぶ弧」は「⌒の下にABと書いた記号」
それでは例題です。
問題1
「三角形ABCで、辺ABと辺ACが等しいならば角Bと角Cの大きさが等しい。」の仮定と結論を抜き出し、式で表してみよう。
解答を表示
仮定：AB＝AC
結論：∠ABC＝∠ACB（∠B＝∠C）
②結論からさかのぼって根拠を探す
仮定から結論を証明するための根拠を探していきます。
このとき、仮定だけを見ているとさっぱりわかりません。
そこで、これを証明するためにはこれが必要でそのためにはこれが必要！と結論から順番にさかのぼって考えると、とっても楽です。
例えば、△ABC≡△DEFを証明するとします。
三角形の主な合同条件は
「三辺相当」（すべての辺が等しい）
「二辺夾角相等」（2つの辺とその間の角が等しい）
「一辺両端角相等」（1つの辺とその両端の角が等しい）
の3種類です。（「二角一対辺相等」というものもありますが、三角形の内角の和が180°になることを考えると、一辺両端各相等と同義と考えられます）
二等辺三角形や直角三角形、正三角形などの特殊な三角形はもっと少ない情報で合同が言えます。
なので、その3つのうちどれが使いやすいか（証明しやすいか）を考えて、方針を立てます。
問題1に補助線を引いた図を使って考えてみてください。
問題2
「三角形ABCの、角Aに二等分するような線を引き、辺BCの交わった点をDとする。三角形ABDと三角形ACDが合同であることを証明せよ。」という問題が出されたときに、三辺相当、二辺夾角相等、一辺両端角相等のどれで証明する？
解答を表示
二辺夾角相等
③実際に文章を書く
数をこなせばだんだんとわかります。
ということで問題です。
がんばってください。
問題3
三角形ABCで、辺ABと辺ACが等しいならば角Bと角Cの大きさが等しいことを証明せよ。
解答を表示
以下が証明の本文の1例です。カッコ内とイラストはわかりやすくするために書いてあるだけで、実際には必要ないです。
△ABCの、∠Aに二等分するような線を引き、辺BCの交わった点をDとする。
（本文そもままでは証明できず、補助線を引く場合はこのように記述する）
△ABDと△ACDにおいて（どの三角形に着目しているのかを示す）
ADは角の二等分線なので∠BAD＝∠ACD・・・①（根拠・主張を書く）
仮定よりAB＝AC・・・②（本文にかかれれていることは「仮定より」という語句を使う）
共通な辺なのでAD=AD・・・③（共通な辺だけに変だけど必要な文章）
①,②,③より、二辺夾角相等なので、△ABD≡△ACD（これも根拠と主張の構造、途中の文章に①のような番号を振っておくと便利、図形同士のアルファベットの順番は対応させる）
合同な図形の対応する角は等しいので∠ABD＝∠ACD（対応を意識することが重要）
Q.E.D.（証明終わりの印、長方形を塗りつぶした∎や塗りつぶさない▯を使うことが一般的）
コラム
仮定と結論が同じ性質（辺の情報から辺に関する証明をする等）だと楽です。
しかし、そんな都合のいいことはほとんどどありません。
合同の証明を間に挟み、対応する角や辺を使うことが多いです。（中学生では）
特に、並行に関する情報は、ほとんど、そのままでは使えません。
なので、平行線の錯覚や同位角を使って、平行の情報→角の情報にすることと便利です。
前の記事でも書いていたのですが、数学で最も大事なのは「論理」です（たぶん）。
証明は論理の積み重ねです。
普段から論理的に考えることも大切かもしれませんね。
ブックマークをしたり、周りの人に共有してくれたら、うれしいです。
