東進数学特待日記が第５章から始まったのはなんか変・・・①
そろそろ中間確認テストなので復習をしたい・・・②
数列は楽しい・・・③
①〜③より、数列の総編集を書こうと思う。（証明風）
「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。
数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。
※あくまで、メモである。（見やすくは作っていない）
※漸化式は「ゼンカシキ」と読む。善だからZenで漸ということだ。
第１章 等差数列と等比数列・漸化式１
数列について
数列とはある規則に従って並んでいる数字の列
3,6,9,?
3ずつ増えていく等差数列だと考えて12かなと思うが、これだけではわからない。
その他の並び方
3+6=9のような並び方だと考えると、6+9=15
[3.3×n]だと考えると、3.3×4=13.2なので、13（[ ]はガウス記号と読み、整数値のみを切り出す記号、nはその数列の何番目の数かを表している）
用語
0,2,4...と偶数の数列がある。
0を第１項、2を第２項、4を第３項といい、第１項を特に初項という
また、無限に続くので、無限数列という。
一方、2,3,5,7という1桁の素数という数列がある。
有限数列という。
また、上の数列の7のように最後の項を末項という。
数列の定義には2種類の方法がある。
一般項による定義・・・an=2nのように、数列の第n項はanとわかるやつ
帰納的定義・・・an=1,an+1=2an+3のように、初項と項の間に成り立つ関係式（=漸化式）によって定義されてるやつ。
本日は「等差数列」と「等比数列」について習った。
等差数列は公差ずつ増えていく数列で、直線上の点のイメージ。漸化式は初項とan+1=an+d（dは公差）、一般項はan=a1+d×(n-1)、第p項から第q項までの和は、台形の面積公式と似ていて、S=(ap+aq)×(q-p+1)×1/2日本語でいうと「（最初足す最後）に項数をかけて2で割る」。
等比数列は公比倍ずつされていく数列で、2次式のグラフ（放物線）上の点のイメージ。漸化式は初項とan+1=ran(rは公比)、一般項はan=r^(n-1)a1、第p項から第q項までの和は、
S=ap+ap+1+・・・+aq-1+aq
rS=rap+rap+1+・・・+raq-1+raq
rS=ap+1+ap+2+・・・+aq+aq+1
(r-1)S=-aq+1+ap
よって、S=(-aq+1+ap)/(r-1)
※r=1のときは、わかるよね。
日本語でいうと、「（最後の次引く最初）を（公比引く1）で割る」。
こんな簡単な数列は少ない。
応用として、an+1=pan+qというタイプの数列がある。
これは、an+1-α=p(an-(α-q/p))に変形させることが必要である。
第２章 数列の和
∑←シグマと読む。
を習った。
入力しづらいので「一項ズレの差の形にする」ということだけを記載しておく。
この形を作ったら、最初と最後以外が消せて便利である。
第３章 漸化式２
まず、差分（階差）を習った。
f(n+1)-f(n)をΔf(n)と表す。
Δはデルタと読む。
これを使うと、a1=1,an+1=a1+nのような形を計算することができるようになる。
あとは、シグマでうまく処理しよう！
それから、数列の置き換えも学んだ。
うまく置き換えよう！
郡数列もやった。
うまくグループに分けて考えよう！
第４章 漸化式３
3つのことを学んだ。
[和の形を含む漸化式]数列の第1項から第n項までの和をSnとする。
そのとき、Sn-Sn-1=anであることは簡単にわかるはずだ。
[連立漸化式]複数種類の数列が混ざった（同時に定義された）漸化式。
an=1,bn=2
an+1=3an+4bn
bn+1=5an+6bn
みたいな感じで現れる。（適当に作ったので、上が解けるかはわからない。）
それぞれの漸化式をα倍β倍して、足して、うまく等比型に帰着させよう！
[3項間漸化式]3項間のつながりを示した漸化式。
a1=1,a2=1
an+2=an+1+an
みたいな感じで現れる。（上はフィボナッチ数列。一般項を求めるのは結構大変だった。）
同様に、an+2-αan=β(an+1-αan)の形をつくることを目指す。an+2=pan+1+qanと係数がついていた場合、（係数1の上記も含めて）x²-px-q=0となる2解がαβである。
これで、4講座の内容を復習できたと思う。
なので、いさぎよくテストを受けてくる。
それでは次回まで！
