「東進数学特待日記」シリーズでは、数学特待生として東進の数学の授業を受けた感想を書いている。
数学特待制度についてはこちらの記事を見てほしい。
※あくまで、メモである。（見やすくは作っていない）
高校数学の花形でもある「微分」がついにやってまいりました。
ないものをあると思う想像力が必要な単元と言われ驚きましたが、頑張りました。
まず、極限。
極限とは、「xがa以外の値をとりながらaに限りなく近づくとき、f(x)が一定の値αに限りなく近づく」という状況のことで、
と書きます。
f(x)=α、g(x)=β（α、βはともに定数）が成り立っているとき、{f(x)+g(x)}=α+β
{f(x)-g(x)}=α-β{f(x)g(x)}=αβ
β≠0のとき、{f(x)/g(x)}=α/β
が成り立ちます。
極限に関する確認問題を2つ。
①xが限りなく2に近づくとき、x²+2x+4はどのような値になるでしょう。
解答を表示
そのまま代入して、2²+2*2+4=12とわかります。
②xが限りなく3に近づくとき、(x²-9)/(x-3)はどのような値になるでしょう。
解答を表示
そのまま代入すると分母が0になってしまうので、(x²-9)を(x+3)(x-3)に因数分解して、(x-3)で約分すると、(x+3)となり、6が得られます。
次は接線について考えていきましょう。
下図のようなy=x²+2xのグラフの点(1,3)での接線の傾きを求めることはできますか？
中学生的には、接線の傾きをmとおくと、y=m(x-1)+3=mx+3と表せるので、放物線との連立方程式を解いてy=4x+1とわかります。
さて、接線とは何なのでしょうか。
読んで字のごとく図形に接する線ととらえるのは幾何だけの話です。
例えば、下の図ようなy=|x²|のグラフの左のとがっているところの接線を考えると、一意に定まりません。
そのため、「図形上のある点の周辺を無限大倍に拡大したときに得られる直線」を接線ととらえるのが直観的には理解しやすいです。
次ー。微分係数についてです。
x=aにおけるf(x)の微分係数をf´(a)で表し、
f´(a)=
{f(a+h)-f(a)}/hの式になります。
この微分係数を連続的に集めた関数（？）が導関数です。
f´(x)={f(x+h)-f(x)}/h
先ほどのf(x)=x²+2xを微分すると、
f´(x)={(x+h)²+2(x+h)-(x²+2x)}/h
f´(x)={x²+2xh+h²+2x+2h-x²-2x}/h
f´(x)={2xh+h²+2h}/h
f´(x)=x+h+2
f´(x)=x+2
となります。
導関数を導関数することもできます。
同様に、二次導関数はf´´(x)、三次導関数はf´´´(x)……となっていきます。
n次導関数を f⁽ⁿ⁾(x) と表すこともあります。
その後、導関数のグラフを書いたりその逆の操作をしたりしました。
が、眠いので寝ます。
(^o^)ﾉ ＜ おやすみー
