皆さんこんにちは。
里得木です。
本日は友達から出題された以下の問題を解いてみたいと思います。
問題
z=a+biとする。
そのとき、|z-i|=|z-2|となるa,bの関係式を求めよ。
複素数を習った人はぜひ、解いてみてください。
習っていない人もいると思うので、ざっくりと複素数の説明をします。
「二乗すると-1になる」（想像上の）数を「i」と置き「虚数単位」と呼ぶことにします。
つまりi²=-1です。
そして、a+bi（aとbは実数（数直線上にある数））の形で表せられる数を「複素数」と呼ぶことにします。
虚数（iを実数倍した数）は数直線上にありません。
そこで、数直線を上に伸ばします。
Reがリアルな数である実数が存在する軸で「実軸」と呼びます。
Imがイマジナリーな数である虚数が存在する軸で「虚軸」と呼びます。
それを組み合わせた図全体を「複素数平面」と呼びます。
例えば、2+2iは図の右上の黒い点のところに表されます。
次に、複素数の絶対値について考えます。
みなさんは絶対値についてなんと習いましたか？
0より大きかったらそのままで0より小さかったらマイナスを外す、というふうに習っていたら残念です。
正しい定義は「原点からの距離」です。
実数の範囲では2文上の定義でも困らなかったと思いますが、複素数になるとそういうわけにはいかないので正しい定義を覚えてください。
先ほど例に挙げた2+2iの原点からの距離はいくらでしょう。
図の赤色の線のところですね。
三平方の定理より2√2です。
これを、「|2+2i|=2√2」と表します。
ここまで読めば、問題は解けると思います。
頑張って挑戦してみてください。
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解法
まずはzにa+biを代入しましょう。
|(a+bi)-i|=|(a+bi)-2|
そして実部と虚部をかっこでくくっておきます。
|a+(b-1)i|=|(a-2)+bi|
二乗して絶対値をはずします。
a²+(b-1)²=(a-2)²+b²
整理します。
a²+b²-2b+1=a²-4a+4+b²
-2b+1=-4a+4
-2b=-4a+3
b=2a-3/2
解けた方、おめでとうございます。
