問題
x²+ax+b=0の2解がsin θ,cos θ(0≦θ≦π/4)で、f(x)=x²+ax+bの最小値が-1/8のとき、a,b,sin θ,cos θを求めよ。
高校生以上の方や数学が得意・好きな方はぜひ自力で解いてから解説を見てください。
〇クリックで解説を表示
2解をα=sin θ,β=cos θとおくと,
f(x)=(x-α)(x-β)=x²+(-α-β)x+αβ
となり、a=-α-β,b=αβが得られる。
f(x)を平方完成すると、f(x)=(x-(a/2))²-(a²/4)+b
-(a²/4)+bにa=-α-β,b=αβを代入すると最小値-1/8と等しくなるので,
-(-α-β)²/4+αβ=-1/8
αβ=1/4(=b)
-(a²/4)+b=-1/8に1/4=bを代入すると,
a²=3/2
a=±√(3/2)
α≧0,β≧0,a=-α-βよりa＜0
よってa=-√(3/2)
x²+ax+b=0にa=-√(3/2),b=1/4を代入すると,
x²-√(3/2)x+1/4=0を二次方程式の解の公式を用いて解くと,x=(√6±√2)/4
f(x)=0となる方程式のxの2実解はα,βであり,範囲(0≦θ≦π/4)でsin θ＜cos θよりα＜β,α=(√6-√2)/4,β=(√6+√2)/4
よって、
a=-√(3/2)
b=1/4
sin θ=(√6-√2)/4
cos θ=(√6+√2)/4
ちなみに、以下のようにθの値を求める解き方もあります。
sin θ cos θ =1/4は、倍角公式(sin 2θ = 2sin θ cos θ)を用いると、
(sin 2θ)/2=1/4
sin 2θ=1/2
2θ=π/6,5π/6
0≦θ≦π/4でθ=π/12
